7月の学習ポイント②・　中学2年生

中学２年生の７月の数学の学習は単元「連立方程式」となります。

「連立方程式」
⒊ いろいろな連立方程式
⒋ 連立方程式の利用
以上を学習します。

連立方程式

連立方程式の利用(1)

解き方の手順
① どの数量を文字を使って表すかを決める。
② ２つの関係についてそれぞれ方程式をつくる。
③ つくった方程式を連立方程式として解き答えを求める。

(１) 個数と金額の問題

(1) １個180円のりんごと１個80円のみかんを合わせて12個買ったら代金の合計は1660円でした。
りんごとみかんをそれぞれ何個買いましたか。

りんごの個数＋みかんの個数＝12個
りんごの代金＋みかんの代金＝1660円

解) りんごの個数を\(x\)個、みかんの個数を\(y\)個とすると
\(\cases{x+y=12　…① \\ 180x+80y=1660　…②}\)

①×80より
\(80x+80y=960\) … ③

②－③より
\(\begin{array}{rr}
& \ 180x+80y=\ 1660\ \ \\
-)&80x+80y=960\ \ \\
\hline
&100x\ \ \ \ 　=700\\
&x\ =7\ \
\end{array}\)

\(x\)＝7を①に代入する。

\(\begin{eqnarray}
7+y &=& 12\\
y &=& 12-7\\
y &=&5\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x = 7 \\ y =5}\)

りんご７個、みかん５個

(2) ２通りの金額の問題

(2) 鉛筆3本とノート1冊を買うと360円、鉛筆2本とノート3冊を買うと520円です。
鉛筆1本、ノート1冊の値段はそれぞれいくらですか。

鉛筆3本の代金＋ノート1冊の代金＝360円
鉛筆2本の代金＋ノート3冊の代金＝520円

解) 鉛筆1本の値段を\(x\)円、ノート1冊の値段を\(y\)円とすると
\(\cases{3x+y=360　…① \\ 2x+3y=520　…②}\)

①×3より
\(9x+3y=1080\) … ③

③－②より
\(\begin{array}{rr}
& \ 9x+3y=\ 1080\ \ \\
-)&2x+3y=520\ \ \\
\hline
&7x\ \ \ \ 　=560\\
&x\ =80\ \
\end{array}\)

\(x\)＝80を①に代入する。

\(\begin{eqnarray}
3×80+y &=& 360\\
240+y &=& 360\\
y &=& 360-240\\
y &=&120\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x =80 \\ y =120}\)

鉛筆８０円、ノート１２０円

(3) 数に関する問題

2けたの自然数は(十の位の数)×10＋(一の位の数)で表される。

(3) ２けたの自然数がある。十の位の数と一の位の数の和は11である。
十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数はもとの数より45大きい。
もとの自然数を求めよ。

(十の位の数)+(一の位の数)＝11
(入れかえてできる数)＝(もとの数)+45

解) もとの数の十の位の数を\(x\)、一の位の数を\(y\)とすると
もとの数は \(10x+y\) 入れかえてできる数は \(10y+x\) となる。
よって式は
\(\cases{x+y=11　…① \\ 10y+x=10x+y+45　…②}\)

②より
\(10y+x-10x-y=45\)
\(-9x+9y=45\) … ③
③÷9より
\(-x+y=5\) … ④

①+④より
\(\begin{array}{rr}
& \ \ x+y=11\ \ \\
+)&-x+y=5\ \ \\
\hline
&2y=16\\
&y=8\ \
\end{array}\)

\(y\)＝8を①に代入する。

\(\begin{eqnarray}
x+8 &=& 11\\
x &=& 11-8\\
x &=&3\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x =3 \\ y =6}\)

十の位の数は３、一の位の数は８なので

３８

連立方程式の利用(2)

道のり・速さ・時間を求める式
道のり＝速さ×時間
速さ＝\(\dfrac{道のり}{時間}\)
時間＝\(\dfrac{道のり}{速さ}\)

(１) 速さに関する問題①

(1) A地から5kmはなれたB地まで行くのにA地点から途中のP地点までは時速4km、P地点からB地点までは時速6kmの速さで歩いたところちょうど1時間かかった。
A地点からP地点までの道のりを求めなさい。

AからPまでの道のり＋PからBまでの道のり＝5km
AからPまでのかかった時間＋PからBまでのかかった時間＝1時間

解) A地からP地までの道のりを\(x\)km、P地からB地までの道のりを\(y\)kmとすると
\(\cases{x+y=5　…① \\ \dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{6}=1　…②}\)

②×12より
\(3x+2y=12\) … ③
①×2より
\(2x+2y=10\) … ④

③－④より
\(\begin{array}{rr}
& \ 3x+2y=\ 12\ \ \\
-)&2x+2y=10\ \ \\
\hline
&x\ \ \ \ 　=2\\
\end{array}\)

\(x\)＝2を①に代入する。

\(\begin{eqnarray}
2+y &=& 5\\
y &=& 5-2\\
y &=&3\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x =2 \\ y =3}\)

A地からP地までの道のりは\(x\)kmなので

答 ３km

(2) 速さに関する問題②

(1) A町から峠を越えてB町まで往復した。
行きも帰りも上りは時速2km、下りは時速4kmで歩き、行きは1時間15分、帰りは1時間かかった。
地まで行くのにA地点から途中のP地点までは時速4km、P地点からB地点までは時速6kmの速さで歩いたところちょうど1時間かかった。
A町からB町までの道のりを求めなさい。

行きのAから峠までの時間＋峠からBまでの時間＝1時間15分
1時間15分を時間で表す
1時間15分=\(\dfrac{75}{60}\)時間=\(\dfrac{5}{4}\)時間
帰りのBから峠までの時間＋峠からAまでの時間＝１時間

解) A町から峠までの道のりを\(x\)km、峠からB町までの道のりを\(y\)kmとすると
\(\cases{\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{75}{60}　…① \\ \dfrac{y}{2}+\dfrac{x}{4}=1　…②}\)

①より
\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{5}{4}\) … ③
③×4より
\(2x+y=5\) … ④
②より並べ替えて
\(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1\)　…⑤
⑤×4より
\(x+2y=4\) … ⑥
⑥×2より
\(2x+4y=8\) … ⑦

⑦－④より
\(\begin{array}{rr}
& \ 2x+4y=\ 8\ \ \\
-)&2x+y=5\ \ \\
\hline
&3y=3\\

&y=1\ \ \ \
\end{array}\)

\(y\)＝1を⑥に代入する。

\(\begin{eqnarray}
x+2 &=&4\\
x &=& 4-2\\
x &=&2\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x =2 \\ y =1}\)

A町からB町までの道のりは
\(x+y\)なので
\(x+y\)=2+1=3

答 ３km

(3) 割合に関する問題

(1) ジュースとお茶を合わせて60本仕入れました。
ジュースは60％、お茶は80％売れて合わせて40本売れました。
ジュースとお茶はそれぞれ何本仕入れましたか。

仕入れたジュースの本数＋仕入れたお茶の本数＝60本
仕入れたジュースの60％の本数＋仕入れたお茶の80％の本数＝40本

解) ジュースを\(x\)本、お茶を\(y\)本、仕入れたとすると
\(\cases{x+y=60　…① \\ \dfrac{60}{100}x+\dfrac{80}{100}y=40　…②}\)

②×100より
\(60x+80y=4000\) … ③
③÷10より
\(6x+8y=400\) … ④
①×6より
\(6x+6y=360\) … ⑤

④－⑤より
\(\begin{array}{rr}
& \ 6x+8y=\ 400\ \ \\
-)&6x+6y=360\ \ \\
\hline
&2y=40 \\
&y=20\ \

\end{array}\)

\(y\)＝20を①に代入する。

\(\begin{eqnarray}
x+20 &=&60\\
x &=& 60-20\\
x &=&40\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x =40 \\ y =20}\)

答 ジュース ４０本、お茶 ２０本

(4) 濃度に関する問題

(1) 9％の食塩水と4％の食塩水を混ぜて7％の食塩水を400g作ります。
それぞれ何gの食塩水を混ぜればよいですか。

9％食塩水の重さ＋4％食塩水の重さ＝7％食塩水の重さ
9％食塩水の食塩の重さ＋4％食塩水の食塩の重さ＝7％食塩水の食塩の重さ

解) 9％食塩水の重さを\(x\)g、4％食塩水の重さを\(y\)9とすると
\(\cases{x+y=400　…① \\ \dfrac{9}{100}x+\dfrac{4}{100}y=400×\dfrac{7}{100}　…②}\)

②×100より
\(9x+4y=2800\) … ③
①×4より
\(4x+4y=1600\) … ④

③－④より
\(\begin{array}{rr}
& \ 9x+4y=\ 2800\ \ \\
-)&4x+4y=1600\ \ \\
\hline
&5x\ \ \ =1200\\
&x\ \ \ =240\\
\end{array}\)

\(x\)＝240を①に代入する。

\(\begin{eqnarray}
240+y &=& 400\\
y &=& 400-240\\
y &=&160\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x =240 \\ y =160}\)

答 9％の食塩水240g、4％の食塩水160g