7月の学習ポイント①・　中学２年生

中学２年生の７月の数学の学習は単元「連立方程式」となります。

「連立方程式」
⒊ いろいろな連立方程式
⒋ 連立方程式の利用
以上を学習します。

連立方程式

いろいろな連立方程式

(１) かっこをふくむ連立方程式

かっこをはずし整理してから解く。

(1) \(\cases{2x+5y=-3　…① \\ 5x-3(2x-y)=7　…②}\)

②より
\(5x-6x+3y=7\)
\(-x+3y=7\)…③
\(\cases{2x+5y=-3　…① \\ -x+3y=7　…③}\)
①③の連立方程式を解く。
③×2より
\(-2x+6y=14\)…④
①＋④より
\(\begin{array}{rr}
&2x+5y=-3\ \ \\
+)&-2x+6y=14\ \ \\
\hline
&11y=11\ \\ \
&y\ =1\ \ \ \
\end{array}\)

\(y\)＝1を①に代入する。

\(\begin{eqnarray}
2x+5 &=& -3\\
2x &=& -3-5\\
2x &=&-8\\
x &=&-4\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x = -4 \\ y = 1}\)

(２) 分数や小数をふくむ連立方程式

分数や小数をふくむ式を整数の式にして解く。

① 分数をふくむ式

分母の公倍数をかけて係数を整数になおしてから解く。

(1) \(\cases{x+2y=2　…① \\ \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=-1　…②}\)

②×6より
\(3x+2y=-6\) … ③
①－③より

\(\begin{array}{rr}
& \ x+2y\ =\ 2\ \ \\
-)&3x+2y=-6\ \ \\
\hline
&-2x\ \ \ \ 　=8\\
&x\ =-4\ \
\end{array}\)

\(x\)＝－4を①に代入する。

\(\begin{eqnarray}
-4+2y &=& 2\\
2y &=& 2+4\\
2y &=&6\\
y &=&3\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x = -4 \\ y =3}\)

② 小数をふくむ式

10倍して係数を整数になおしてから解く。

(2) \(\cases{0.4x+0.2y=1　…① \\ 3x-y=5　…②}\)

①×10より
\(4x+2y=10\) … ③
②×2より
\(6x-2y=10\) … ④
③+④より

\(\begin{array}{rr}
& \ 4x+2y\ =10\ \ \\
+)&6x-2y=10\ \ \\
\hline
&10x\ \ \ \ 　=20\\
&x\ =2\ \
\end{array}\)

\(x\)＝2を②に代入する。

\(\begin{eqnarray}
6-y &=& 5\\
-y &=& 5-6\\
-y &=&-1\\
y &=&1\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x = 2 \\ y =1}\)

③ A=B=C の形の式

A=B=C の形の連立方程式は
\(\cases{A=B　 \\ A=C　}\)\(\cases{A=B　 \\ B=C　}\)\(\cases{A=C　 \\ B=C　}\)
上のどれかの組み合わせを作って解く。

(3) \(\ 2x+y=x-y=6\)

\(\cases{A=C　 \\ B=C　}\)より

\(\cases{2x+y=6　…① \\ x-y=6　…②}\)

①+②より
\(\begin{array}{rr}
& \ 2x+y=\ 6\ \ \\
+)&x-y=6\ \ \\
\hline
&3x\ \ \ \ 　=12\\
&x\ =4\ \
\end{array}\)

\(x\)＝4を①に代入する。

\(\begin{eqnarray}
2×4+y &=& 6\\
8+y &=& 6\\
y &=& 6-8\\
y &=&-2\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x = 4 \\ y =-2}\)

(3) 解と係数に関する問題

(1) \(\cases{ax+by=4　…① \\ bx-ay=7　…②}\)
の解が\(x=1, y=2\) であるとき
\(a, b\) の値を求める。

それぞれの方程式に\(x\)と\(y\)の値を代入する。

\(x=1, y=2\) を２つの方程式に代入する。
\(\cases{a+2b=4　…① \\ b-2a=7　…②}\)
\(a, b\) をそろえる。
\(\cases{a+2b=4　…③ \\ -2a+b=7　…④}\)
③④を\(a, b\) の連立方程式として解く。

③×2より
\(2a+4b=8\) … ⑤
⑤+④より
\(\begin{array}{rr}
&2a+4b=8\ \ \\
+)&-2a+b=7\ \ \\
\hline
&5b=15\ \\ \
&b\ =3\ \ \ \
\end{array}\)

\(b\)＝3を③に代入する。

\(\begin{eqnarray}
a+2×3 &=& 4\\
a+6 &=& 4\\
a&=&4-6\\
a &=&-2\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{a = -2 \\ b = 3}\)