６月学習ポイント②・　中学３年生

中学３年生の６月の数学の学習は単元「平方根」となります。

「平方根」
⒈ 平方根
⒉ 根号をふくむ式の計算
⒊ 平方根の計算の利用
以上を学習します。

平方根

⒉ 根号をふくむ式の計算

(1) 根号をふくむ数の積や商

平方根の積と商
a、ｂを正の数とするとき

(1) \(\sqrt{a}\)×\(\sqrt{b}\) = \(\sqrt{ab}\)
(2) \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)＝\(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)

① \(\sqrt{2}\)×\(\sqrt{7}\)
= \(\sqrt{2×7}\)
= \(\sqrt{14}\)

② \(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\)
＝\(\sqrt{\dfrac{48}{3}}\)
＝\(\sqrt{16}\)
＝ ４

\(\sqrt{a}\)×\(\sqrt{b}\) は記号×をはぶいて\(\sqrt{a}\)\(\sqrt{b}\)とも書く。
同様に \(a\)×\(\sqrt{b}\)は\(a\)\(\sqrt{b}\)とも書く。

(2) 根号をふくむ数の変形

(1) ２\(\sqrt{3}\) を \(\sqrt{a}\) の形で表す。

２\(\sqrt{3}\)
＝\(\sqrt{2^{2}}\) × \(\sqrt{3}\)
＝\(\sqrt{2^{2}×3}\)
＝\(\sqrt{4×3}\)
＝\(\sqrt{12}\)

(2) \(\sqrt{45}\) を \(a\)\(\sqrt{b}\) の形で表す。

\(\sqrt{45}\)
＝\(\sqrt{3^{2}×5}\)
＝\(\sqrt{3^{2}}\) × \(\sqrt{5}\)
＝ ３\(\sqrt{5}\)

(3) 分母の有理化

分母の有理化
分母を根号をふくまない形に直すことを分母を有理化するという。
分母を有理化するには分母に\(\sqrt{a}\)がある場合分母と分子に\(\sqrt{a}\)をかければよい。

① \(\dfrac{5}{\sqrt{6}}\)
＝ \(\dfrac{5×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}\)
＝ \(\dfrac{5\sqrt{6}}{6}\)

② \(\dfrac{4}{3\sqrt{2}}\)
＝ \(\dfrac{4×\sqrt{2}}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}\)
＝ \(\dfrac{4\sqrt{2}}{3×2}\)
＝ \(\dfrac{4\sqrt{2}}{6}\)
＝ \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

(4) 根号をふくむ式の乗法・除法

根号の中は中どうし、根号の外は外どうしで計算をする。

① ２\(\sqrt{3}\) × ３\(\sqrt{6}\)
＝ ２×３×\(\sqrt{3}\)× \(\sqrt{6}\)
根号の中は中どうし、外は外どうし計算する。
＝ ６×\(\sqrt{18}\)
根号の中を小さくする
＝ ６×３\(\sqrt{2}\)
整数どうしをかける
＝ １８\(\sqrt{2}\)

② ４\(\sqrt{15}\) ÷ ２\(\sqrt{5}\)
＝ \(\dfrac{4\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}\)
＝ \(\dfrac{5×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}\)
＝ ２\(\sqrt{3}\)

(5) 平方根の近似値

根号の中の数字を小数点の位置から２けたごとに区切り近似値を求める。

① \(\sqrt{5}\)＝2.236、\(\sqrt{50}\)＝7.071
として次の近似値を求める。
(1) \(\sqrt{500}\)
500を小数点から２けた区切る
500＝5×100より
\(\sqrt{500}\)
＝\(\sqrt{5×100}\)
＝ \(\sqrt{5}\)×\(\sqrt{100}\)
＝ \(\sqrt{5}\)×10
＝ 2.236×10
＝ 22.36

(2) \(\sqrt{0.5}\)
0.5を小数点から２けた区切る
0.5＝0.50＝\(\dfrac{50}{100}\)より
\(\sqrt{0.5}\)
＝ \(\sqrt{\dfrac{50}{100}}\)
＝ \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{100}}\)
＝ \(\dfrac{\sqrt{50}}{10}\)
＝ \(\dfrac{0.7071}{10}\)
＝ 0.7071

根号の中の数の小数点の位置が２けた移るごとにその数の平方根の小数点の位置は同じ向きに１けたずつ移る。

(1) \(\sqrt{5}\)＝2.236
\(\sqrt{500}\)＝22.36

(2) \(\sqrt{50}\)＝7.071
\(\sqrt{0.50}\)＝0.7071