７月の学習ポイント①・　中学３年生

中学３年生の７月の数学の学習は単元「平方根」「２次方程式」となります。

「平方根」
⒈ 平方根
⒉ 根号をふくむ式の計算
⒊ 平方根の計算の利用
「２次方程式」
⒈ ２次方程式の解き方
以上を学習します。

平方根

⒉ 根号をふくむ式の計算

(6) 根号をふくむ式の和と差

根号の中が同じ数は同類項をまとめるのと同じようにして計算する。
2a＋3a＝(2＋3)a＝5a　と同じように計算する。

① ２\(\sqrt{5}\)＋３\(\sqrt{5}\)
＝ (2＋3)\(\sqrt{5}\)
＝ ５\(\sqrt{5}\)

② ６\(\sqrt{2}\)＋\(\sqrt{7}\)－４\(\sqrt{2}\)－２\(\sqrt{7}\)
＝ ６\(\sqrt{2}\)－４\(\sqrt{2}\)＋\(\sqrt{7}\)－２\(\sqrt{7}\)
＝ (６－２)\(\sqrt{2}\)＋(１－２)\(\sqrt{7}\)
＝ ４\(\sqrt{2}\)－\(\sqrt{7}\)

(7) 根号をふくむ加法・減法

根号の中はできるだけ簡単な数になるように変形してから計算する。
(1) \(\sqrt{50}\)＋３\(\sqrt{2}\)
=５\(\sqrt{2}\)＋３\(\sqrt{2}\)
=８\(\sqrt{2}\)

(2) \(\sqrt{12}\)－３\(\sqrt{108}\)
＝２\(\sqrt{3}\)－６\(\sqrt{3}\)
= －４\(\sqrt{3}\)

分母を有理化してから計算する。
(3) \(\sqrt{48}\)－\(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\)
＝ ４\(\sqrt{3}\)－\(\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}\)
＝ ４\(\sqrt{3}\)－\(\dfrac{6\sqrt{3}}{3}\)
＝ ４\(\sqrt{3}\)－２\(\sqrt{3}\)
＝ ２\(\sqrt{3}\)

(4) \(\dfrac{\sqrt{40}}{5}\)＋\(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
＝ \(\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\)＋\(\dfrac{1×\sqrt{10}}{\sqrt{10}×\sqrt{10}}\)
＝ \(\dfrac{{2}}{5}\)\(\sqrt{10}\)＋\(\dfrac{1}{10}\)\(\sqrt{10}\)
＝ \(\dfrac{{4}}{10}\)\(\sqrt{10}\)＋\(\dfrac{1}{10}\)\(\sqrt{10}\)
＝ \(\dfrac{{5}}{10}\)\(\sqrt{10}\)
＝ \(\dfrac{{1}}{2}\)\(\sqrt{10}\)

⒊ 平方根の計算の利用

(1) 根号をふくむ式の四則計算

加減乗除が混じった計算は計算の順序に注意する。
① ５\(\sqrt{6}\)＋\(\sqrt{2}\)×\(\sqrt{3}\)
×を先に計算する
＝５\(\sqrt{6}\)＋\(\sqrt{6}\)
＝６\(\sqrt{6}\)

② \(\sqrt{63}\)－\(\sqrt{35}\)÷\(\sqrt{5}\)
÷を先に計算する
＝３\(\sqrt{7}\)－\(\sqrt{\dfrac{35}{5}}\)
＝３\(\sqrt{7}\)－\(\sqrt{7}\)
＝２\(\sqrt{7}\)

(2) 分配法則を利用した計算

(1) \(\sqrt{6}\)(\(\sqrt{6}\)－２)
＝ \((\sqrt{6})^{2}\)－２\(\sqrt{6}\)
＝ ６－２\(\sqrt{6}\)

(2) (\(\sqrt{3}\)＋４)(２\(\sqrt{3}\)－１)
＝ \(\sqrt{3}\)×２\(\sqrt{3}\)－\(\sqrt{3}\)＋８\(\sqrt{3}\)－４
＝ ２×\((\sqrt{3})^{2}\)－\(\sqrt{3}\)＋８\(\sqrt{3}\)－４
＝ ２×３－４－\(\sqrt{3}\)＋８\(\sqrt{3}\)
＝ ６－４－\(\sqrt{3}\)＋８\(\sqrt{3}\)
＝ ２＋７\(\sqrt{3}\)

(3) 乗法公式を利用した計算

乗法公式
[公式１]　 \((x+a)(x+b)＝x^{2}+(a+b)x+ab\)
[公式２]　 \((x+a)^{2}＝x^{2}+2ax+a^{2}\)
[公式３]　 \((x－a)^{2}＝x^{2}－2ax+a^{2}\)
[公式４]　 \((x+a)(x－a)＝x^{2}－a^{2}\)

乗法公式を利用した計算
① (\(\sqrt{2}\)＋１)(\(\sqrt{2}\)＋３)
= \((\sqrt{2})^{2}\)＋(１＋３)\(\sqrt{2}\)＋１×３
＝ \((\sqrt{2})^{2}\)＋４\(\sqrt{2}\)＋３
＝ ２＋４\(\sqrt{2}\)＋３
＝ ５＋４\(\sqrt{2}\)

② \((\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}\)
＝ \((\sqrt{5})^{2}\)＋２×\(\sqrt{5}\)×\(\sqrt{2}\)＋\((\sqrt{２})^{2}\)
＝ 5＋２\(\sqrt{10}\)＋２
＝ ７＋２\(\sqrt{10}\)

③ (\(\sqrt{3}\)＋\(\sqrt{2}\))(\(\sqrt{3}\)－\(\sqrt{2}\))
＝ \((\sqrt{3})^{2}\)－\((\sqrt{2})^{2}\)
＝３－２
＝１

(4) 式の値

式の値を求めるとき、式のその値を代入して計算する。
または因数分解などをして変形してから値を代入する方法がある。

(1) \(x=2+\sqrt{3}\)、\(y=2-\sqrt{3}\)のとき
　\(xy\)＋\(y^{2}\)の値を求める。

① 直接式に代入する。
　\(xy\)＋\(y^{2}\)
＝ (２＋\(\sqrt{3}\))(２－\(\sqrt{3}\))+\((2-\sqrt{3})^{2}\)
＝ \(2^{2}\)－\((\sqrt{3})^{2}\)＋\(2^{2}\)－２×２×\(\sqrt{3}\)＋\((\sqrt{3})^{2}\)
＝ ４－３＋４－４\(\sqrt{3}\)＋３
＝ ８－４\(\sqrt{3}\)

② 因数分解をした結果に代入する。
　\(xy\)＋\(y^{2}\)
＝\(y(x+y)\)
＝ (２－\(\sqrt{3}\))(２＋\(\sqrt{3}\)＋２－\(\sqrt{3}\))
＝ (２－\(\sqrt{3}\))×４
＝ ８－４\(\sqrt{3}\)