6月学習ポイント①・　中学３年生

中学３年生の６月の数学の学習は単元「平方根」となります。

「平方根」
⒈ 平方根
⒉ 根号をふくむ式の計算
⒊ 根号の計算の利用
以上を学習します。

平方根

⒈ 平方根

平方根
ある数 \(x\) を２乗すると a になるとき、
すなわち \(x^{2}\)＝a であるとき
\(x\) を a の平方根であるという。

\(3^{2}\)＝９
\((-3)^{2}\)＝９ より
９平方根は３と－３である。
これらをまとめて±３と表し
「プラスマイナス３」と読む。

平方根について
(1) 正の数の平方根は正・負の２つあり、その絶対値は等しい。
(2) ０の平方根は０だけである。
(3) 負の数には平方根はない。

⒉ 平方根の表し方

aが正の数であるときaの２つの平方根のうち
正の方を\(\sqrt{a}\)、負の方を－\(\sqrt{a}\)と表す。
\(\sqrt{0}\)＝０である。
記号\(\sqrt{　}\)を根号という。
\(\sqrt{a}\)は「ルートa」と読む。

① ３の平方根は\(\sqrt{3}\)と－\(\sqrt{3}\)である。
これらをまとめて±\(\sqrt{3}\)と書く。
これを「プラスマイナス・ルート３」と読む。

② \(\sqrt{9}\) は９の平方根の正の方だから
\(\sqrt{9}\)＝３
－\(\sqrt{9}\) は９の平方根の負の方だから
－\(\sqrt{9}\)＝－３

平方根の値
aを正の数とするとき次の式が成り立つ。
\((\sqrt{a})^{2}\)＝a
\((-\sqrt{a})^{2}\)＝a
これより
\((\sqrt{3})^{2}\)＝３
\((-\sqrt{3})^{2}\)＝３

(2)平方根の大小

平方根の大小
平方根の大小は絶対値(数のみ)を２乗して考える。

(1) 正の平方根の大小
a , b が正の数のとき
a＜b ならば\(\sqrt{a}\)＜\(\sqrt{b}\)

① \(\sqrt{7}\) と \(\sqrt{10}\) の大小
７＜１０だから　
\(\sqrt{7}\) ＜ \(\sqrt{10}\)

② ３と\(\sqrt{10}\) の大小
２乗して考える。
\(3^{2}\)＝９　\((\sqrt{10})^{2}\)＝１０
９＜１０より
\(\sqrt{9}\)＜\(\sqrt{10}\)
３＜\(\sqrt{10}\)

(2) 負の平方根の大小
a , b が正の数のとき
a＜b ならば－\(\sqrt{a}\)＞－\(\sqrt{b}\)
負の平方根の大小の場合
絶対値(数のみ)を２乗してマイナスの符号をつけて考える。

① －\(\sqrt{7}\) と －\(\sqrt{10}\) の大小
－７＞－１０だから　
－\(\sqrt{7}\) ＞ －\(\sqrt{10}\)

② －３と－\(\sqrt{10}\) の大小
絶対値(数のみ)を２乗して考える。
\(3^{2}\)＝９　\((\sqrt{10})^{2}\)＝１０
９＜１０より
－９＞－１０
よって
－\(\sqrt{9}\)＞－\(\sqrt{10}\)
－３＞－\(\sqrt{10}\)

⒋ 平方根の応用

① １＜\(\sqrt{a}\)＜２をみたす自然数 a を求めよ。

解)
１＜\(\sqrt{a}\)＜２
それぞれを２乗すると
\(1^{2}\)＜\((\sqrt{a})^{2}\)＜\(2^{2}\)
１＜ a ＜４
これをみたす自然数 a は
２, ３となる。　答　２, ３

② \(\sqrt{12a}\)の値が自然数となるような自然数 a の値のうち最も小さいものを求めよ。

解）
１２を素因数分解すると
１２＝\(2^{2}\)×３だから
\(\sqrt{12a}\)＝\(\sqrt{2^{2}×3×a}\)
\(3^{2}\)×\(a^{2}\) のとき自然数になる。
つまり
a＝３×\((自然数)^{2}\) のとき自然数になる。
(自然数)＝１ のときが
\(\sqrt{12a}\)を自然数にする最も小さい自然数aとなる。
a の値は
a ＝ 3×１＝３　答　３

a＝３このとき\(\sqrt{12a}\)の値は
\(\begin{eqnarray}
\sqrt{12a}&=& \sqrt{2^{2}×3×3}\\
&=& \sqrt{2^{2}×3^{2}}\\
&=& \sqrt{(2×3)^{2}}\\
&=&\sqrt{6^{2}}\\
&=&6\\
\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{12a}\)の値は６になる。

③ \(\sqrt{70}\)を小数で表した時の整数部分を求めよ。

解）
\(n\)を自然数とすると
\(n\)＜\(\sqrt{70}\)＜\(n\)＋１となる\(n\)を見つければよい。
\(\sqrt{70}\)の２乗は
\((\sqrt{70})^{2}\)＝７０
２乗すると７０に近い自然数を見つける。
\(8^{2}\)＝６４　
\(9^{2}\)＝８１ だから
６４＜７０＜８１より
\(8^{2}\)＜７０＜\(9^{2}\)
８＜\(\sqrt{70}\)＜９
これより\(\sqrt{70}\)を小数で表したときの
整数部分の数は８となる。
答　８