６月の学習ポイント①・　中学２年生

中学２年生の６月の数学の学習は単元「連立方程式」となります。

「連立方程式」
⒈ 加減法
⒉ 代入法
⒊ いろいろな連立方程式
以上を学習します。

連立方程式

⒈ 連立方程式と解

連立方程式
２つ以上の方程式を組み合わせたものを連立方程式という。
連立方程式の解
連立方程式のどの方程式も成り立たせるような文字の値の組を連立方程式の解という。
解を求めることを連立方程式を解くという。

⒉ 加減法①

文字\(x\)をふくむ２つの方程式から\(x\)をふくまない１つの方程式を作ることを\(x\)を消去するという。
このように左辺どうし右辺どうしをたしたりひいたりして１つの文字を消去して解く方法を加減法という。

(1) \(\cases{2x + 7y = 13　…① \\ 2x + 5y = 11　…②}\)

絶対値が等しく符号も等しい\(2x\)に着目する。
符号が等しいので①の式から②の式をひいて\(y\)だけの式にする。

①②式の\(x\)の係数が２で同じで符号も同じなので①－②をする。
①－②
\(\begin{array}{rr}
&2x + 7y = 13\\
-)& 2x + 5y = 11\\
\hline
&2y\ =2\ \\
&y\ =1\
\end{array}\)

\(y\)＝１を②に代入する。
(①に代入してもよい)

\(\begin{eqnarray}
2x+5×1 &=& 11\\
2x+5 &=& 11\\
2x &=& 11-5\\
2x &=&6\\
x &=&3\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x = 3 \\ y = 1}\)

(2) \(\cases{5x-3y=26　…① \\ 2x+3y=2　　…②}\)

絶対値が等しく符号が反対の\(3y\)に着目する。
符号が反対なので①の式に②の式を加えて\(x\)だけの式にする。

①②式の\(y\)の係数が３で同じで符号は反対なので①＋②をする。
①＋②
\(\begin{array}{rr}
&5x-3y=26\\
+)&2x+3y=2\ \ \\
\hline
&7x\ \ 　　=28\\
&x\ =4\ \
\end{array}\)

\(x\)＝4を②に代入する。
(①に代入してもよい)

\(\begin{eqnarray}
2×4+3y &=& 2\\
8+3y &=& 2\\
3y &=& 2-8\\
3y &=&-6\\
y &=&-2\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x = 4 \\ y = -2}\)

加減法②

(3) \(\cases{3x+y=1　…① \\ 2x-3y=8　…②}\)

①を３倍すると\(y\)の係数の絶対値が等しくなる。
符号は反対なので①の式に②の式を加えて\(x\)だけの式にする。

①式を３倍すると\(y\)の係数が３で同じで符号は反対なので①×３＋②をする。
①×３＋②
\(\begin{array}{rr}
&9x+3y=3\ \ \\
+)&2x-3y=8\ \ \\
\hline
&11x\ \ \ \ \ 　=11\\
&x\ =1\ \
\end{array}\)

\(x\)＝1を①に代入する。
(②に代入してもよい)

\(\begin{eqnarray}
3×1+y &=& 1\\
3+y &=& 1\\
y &=& 1-3\\
y &=&-2\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x = 1 \\ y = -2}\)

(4) \(\cases{2x - 5y = -4　…① \\ 3x - 2y = 5　…②}\)

\(x,y\)どちらかの係数の絶対値が等しくなるようにそれぞれの式を何倍かする。

\(x\)の係数の絶対値を６にして符号が同じなのでひく。
符号が等しいので①の式から②の式をひいて\(y\)だけの式にする。

①式を３倍、②式を２倍すると\(x\)の係数が６で同じになり符号は同じなのでひく。
①×３－②×２
\(\begin{array}{rr}
&6x-15y=-12\\
-)&6x\ -\ 4y=\ \ \ 10\\
\hline
&-11y=-22\\
&y=\ 2\ \ \ \
\end{array}\)

\(y\)＝2を①に代入する。
(②に代入してもよい)

\(\begin{eqnarray}
2x-5×2 &=& -4\\
2x-10 &=& -4\\
2x &=& -4+10\\
2x &=&6\\
x &=&3\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x = 3 \\ y = 2}\)

係数を比べて消去しやすい方の文字を選び係数の絶対値を等しくすることを考える。

⒊ 代入法

代入法
一方の式を他方に代入することによって１つの文字を消去して解く方法を代入法という。

(1)\(\cases{4x+5y=13　…① \\ x =3y-1　…②}\)

①の\(x\)に②の(\(3y-1\))を代入すると\(x\)が消去される。
②を①に代入する。

\(\begin{eqnarray}
4(3y-1)+5y &=& 13\\
12y-4+5y&=&13\\
12y+5y&=& 13+4\\
17y&=&17\\
y&=&1\\
\end{eqnarray}\)

\(y\)＝１を②に代入する。

\(\begin{eqnarray}
x &=& 3×1-1\\
x &=&3-1\\
x &=&2\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x = 2 \\ y = 1}\)

(2)\(\cases{x-2y=1　…① \\ y =2x-8　…②}\)

①の\(y\)に②の(\(2x-8\))を代入すると\(y\)が消去される。
②を①に代入する。

\(\begin{eqnarray}
x-2(2x-8)&=& 1\\
x-4x+16&=&1\\
x-4x&=& 1-16\\
-3x&=&-15\\
x&=&5\\
\end{eqnarray}\)

\(x\)＝5を②に代入する。

\(\begin{eqnarray}
y&=&2×5-8\\
y &=&10-8\\
y &=&2\\
\end{eqnarray}\)

\(\cases{x = 5 \\ y = 2}\)