6月の学習ポイント①・　小学６年生

小学６年生・算数の６月の学習は「分数×分数」「分数÷分数」となります。

① 分数×分数
② 分数÷分数
以上を学習します。

分数と整数のかけ算とわり算

(1) 分数×分数の計算

① 分数をかける計算のしかた
分数に分数をかける計算は分母どうし、分子どうしのかけ算をする。

\(\frac{b}{a}\)×\(\frac{d}{c}\)＝\(\frac{b×d}{a×c}\)

①\(\frac{3}{4}\)×\(\frac{3}{5}\)＝\(\frac{3×3}{4×5}\)＝\(\frac{9}{20}\)

② 約分のある計算
計算途中で約分できるときは約分してから計算をする。

② \(\dfrac{6}{7}\)×\(\dfrac{5}{8}\)
=\(\dfrac{6\times5}{7\times8}\)=\(\dfrac{\bcancel{6}^{3}\times5}{7\times\bcancel{8}_4}\)
=\(\dfrac{3\times5}{7\times4}\)＝\(\dfrac{15}{28}\)

③ 帯分数×帯分数
帯分数は仮分数になおしてから計算をする。

③ \(2\)\(\frac{5}{8}\)×\(1\)\(\frac{2}{7}\)

＝\(\frac{21}{8}\)×\(\frac{9}{7}\)=\(\dfrac{\bcancel{21}^{3}\times9}{8\times\bcancel{7}_1}\)

＝\(\frac{3×9}{8×1}\)＝\(\frac{27}{8}\)

④ 整数×分数
整数を分母が１の分数と考えて計算をする。

④ \(15\)×\(\dfrac{3}{5}\)＝\(\dfrac{15}{1}\)×\(\dfrac{3}{5}\)
=\(\dfrac{15\times3}{1\times5}\)=\(\dfrac{\bcancel{15}^{3}\times3}{1\times\bcancel{5}_1}\)
=\(\dfrac{3\times3}{1\times1}\)＝\(\dfrac{9}{1}\)＝\(9\)

(2) 積の大きさ

かけ算ではかける数と積の大きさの関係は次のようになる。
① かける数が１より大きいとき積はかけられる数より大きくなる。
② かける数が１のとき積はかけられる数と等しくなる。
③ かけられる数が１より小さいとき積はかけられる数より小さくなる。

① \(6\)×\(\dfrac{4}{3}\)
かける数\(\dfrac{4}{3}\)は１より大きいので答えは６より大きくなる。

② ６×１
かける数が１なので答えは６となる。

③ \(6\)×\(\dfrac{2}{3}\)
かける数\(\dfrac{2}{3}\)は１より小さいので答えは６より小さくなる。

いろいろな計算・計算のきまり

(1) ３つの分数のかけ算

複数の分数のかけ算では分母どうし、分子どうしまとめて計算をする。
このとき分母・分子が約分できるときは約分をする。

① \(\dfrac{3}{5}\)×\(\dfrac{1}{7}\)×\(\dfrac{7}{9}\)
=\(\dfrac{3\times1×7}{5\times7×9}\)=\(\dfrac{\bcancel{3}^{1}\times1×\bcancel{7}^{1}}{5×\bcancel{7}_1\times\bcancel{9}_3}\)
=\(\dfrac{1\times1×1}{5\times1×3}\)
＝\(\dfrac{1}{15}\)

(２) 辺の長さが分数の面積や体積

面積や体積は長さが分数であっても整数のときと同じように公式を使って求めることができる。
① 平行四辺形の面積
底辺\(\dfrac{4}{5}\)m、高さ\(\dfrac{5}{6}\)mの平行四辺形の面積
平行四辺形の面積＝底辺×高さ

　\(\dfrac{4}{5}\)×\(\dfrac{5}{6}\)
＝\(\dfrac{4×5}{5×6}\)＝\(\dfrac{\bcancel{4}^{2}×\bcancel{5}^{1}}{\bcancel{5}_1\times\bcancel{6}_3}\)
＝\(\dfrac{2×1}{1×3}\)＝\(\dfrac{2}{3}\)

答え　\(\dfrac{2}{3}\)\(m^{2}\)

② 直方体の体積
たて\(\dfrac{7}{8}\)m、横\(\dfrac{10}{3}\)m、高さ\(\dfrac{4}{5}\)m、の直方体の体積
直方体の体積＝たて×横×高さ

　\(\dfrac{7}{8}\)×\(\dfrac{10}{3}\)×\(\dfrac{4}{5}\)
＝\(\dfrac{7×10×4}{8×3×5}\)=\(\dfrac{7×\bcancel{10}^{1}×\bcancel{4}^{1}}{\bcancel{8}_1×3×\bcancel{5}_1}\)
＝\(\dfrac{7×1×1}{1×3×1}\)
＝\(\dfrac{7}{3}\)

答え　\(\dfrac{7}{3}\)\(m^{3}\)

(３) 計算のきまり

分数でも計算のきまりが成り立つ。
① a×b＝b×a
② (a×b)×c＝a×(b×c)
③ (a＋b)×c＝a×c＋b×c
④ (a－b)×c＝a×c－b×c
③④は逆もよく使う。
③ a×c＋b×c＝(a＋b)×c
④ a×c－b×c＝(a－b)×c

① \(\dfrac{3}{8}\)×\(\dfrac{4}{9}\)＝\(\dfrac{4}{9}\)× \(\dfrac{3}{8}\)

② (\(\dfrac{4}{7}\)×\(\dfrac{9}{10}\))×\(\dfrac{20}{3}\)＝\(\dfrac{4}{7}\)×(\(\dfrac{9}{10}\)×\(\dfrac{20}{3}\))

③ (\(\dfrac{5}{6}\)＋\(\dfrac{3}{4}\))×\(12\)＝\(\dfrac{5}{6}\)×\(12\)＋\(\dfrac{3}{4}\)×\(12\)

④ \(\dfrac{7}{12}\)×\(\dfrac{4}{5}\)＋\(\dfrac{5}{12}\)×\(\dfrac{4}{5}\)＝ (\(\dfrac{7}{12}\)＋\(\dfrac{5}{12}\))×\(\dfrac{4}{5}\)

(４) 逆数

２つの数の積が１になるとき一方の数をもう一方の数の逆数という。
真分数や仮分数は分子と分母を入れかえた数が逆数となる。
帯分数は仮分数になおして逆数を考える。
\(\dfrac{3}{4}\)の逆数は
\(\dfrac{3}{4}\)×\(\dfrac{4}{3}\)＝１なので
\(\dfrac{3}{4}\)の逆数は\(\dfrac{4}{3}\)となる。

小数は分数になおして逆数を考える。
0.3の逆数は
0.3＝\(\dfrac{3}{10}\)
\(\dfrac{3}{10}\)×\(\dfrac{10}{3}\)＝１より
\(\dfrac{3}{10}\)の逆数は\(\dfrac{10}{3}\)
よって0.3の逆数は\(\dfrac{10}{3}\)である。