５月の学習ポイント①・中学１年生

中学１年生の５月の数学の学習は単元「正負の数」において「加減混合計算」「乗法・除法」「四則計算」となります。

「正負の数」
①加減混合計算
②乗法・除法
③四則計算
以上を学習します。

加減混合計算

加減が混じった計算
加法と減法の混じった計算

式の項
加法だけの式で加法の記号[+]で結ばれたそれぞれの数をこの式の項という。
正のものを正の項
負のものを負の項という。

\(3－8+7－6\)
加法の記号(+)で結ぶ
\(=(+3)+(－8)+(+7)+(－6)\)
正の項
\(+3, +7\)
負の項
\(－8, －6\)

加減混合計算
かっこのない式に直して正の数の和、負の数の和をそれぞれ求めて計算する。
式のはじめの項の[+]の符号は省略する。

かっこのない２つの数の計算

２つの数の加法
正の数+正の数
普通のたし算
\(3+2=5\)

負の数+正の数
正の数－負の数の絶対値に並べかえる

負の数の絶対値が正の数の絶対値より小さい場合
\(－3+5\)
\(= 5－3\)
\(= 2\)

正の数－負の数の絶対値
負の数の絶対値が正の数の絶対値より大きい場合

マイナスの符号を書いて絶対値の差
\(－6+2\)
\(=2－6\)
\(= －(6-2)\)
\(= －4\)

２つの数の減法
２つの数の減法では絶対値の大きい方から小さい方をひく。
そのとき負の項の絶対値が大きい場合は[－]の符号を答えの前につける。

正の数－正の数　ひく数が小さいときは普通のひき算
\(6－4 = 2\)

正の数－正の数　ひく数が大きいときはマイナス[－]をつけて絶対値をひく。
\(3－7\)
3と7では7の方が絶対値が大きいのでひく数の方が大きい。
ひく数が大きいときは[－]をつけて7－3をする
\(= －(7－3)\)
\(= －4\)

負の数－正の数
マイナスの符号[－]をつけて数はたす。

\(－2－6\)
\(= －(2+6)\)
\(= －8\)

間違いやすいポイント

次の２つの計算パターンが間違いやすいので要注意。
計算方法を確実にしておかないと数学が苦手になる要因となる。

間違いの例

\(－a+b=－(a+b) \)とする間違い

\(－5+3 \)
\(－5の絶対値5に3をたす\)
\(= －(5+3)\)
\(= －8\)　間違い

正解
\(－5+3 \)
正の項を前に並べかえる
\(＝ 3－5\)
ひく項の絶対値が大きいのでマイナス[－]をつけて絶対値の差
\(＝ －(5－3)\)
\(= －2\)

間違いの例

\(－a－b=－(a－b)\)とする間違い　

\(－9－3 \)
マイナス[－]をつけて絶対値をひく
\(= －(9－3)\)
\(= －6\)　間違い

正解
\(－9－3\)
マイナス[－]をつけて絶対値をたす
\(= －(9+3)\)
\(= －12\)

加減混合計算
加減が混じった式の計算ではまずかっこをなくした式にする。
次の方法よりかっこをなくす
\(+(+ ) → +\)
\(－(－) → +\)
\(+(－) → －\)
\(－(+ ) → －\)
式のはじめの項の+は書かない。

\((+2)－(+7)+(－6)－(－3)－(+8)\)
上記の方法によりかっこをなくす
\(= 2－7－6+3－8\)
正の項、負の項に並べかえる
\(= 2+3－7－6－8\)
正の数の和、負の数の和を求める
\(= 5－21\)
負の数が大きい２数の差
\(= －(21－5)\)
\(= －16\)

\((－3)+(+8)－(－1)+(－4)－(+5)\)
上記の方法によりかっこをなくす
\(= －3+8+1－4－5\)
正の項、負の項に並べかえる
\(= －3+8+1－4－5\)
\(= 8+1－3－4－5\)
正の数の和、負の数の和を求める
\(= 9－12\)
負の数が大きい２数の差
\(= －3\)

乗法

乗法
かけ算のことを乗法という。
乗法の結果を積という。

同符号の２つの数の積　
絶対値の積に正の符号をつける。
正の符号ははぶく。
(＋)×(＋) → (+)
(－)×(－) → (＋)

① (＋３)×(＋２)
＝＋(３×２)
＝+６
＝６

② (－３)×(－２)
＝＋(３×２)
＝+６
＝６

異符号の２つの数の積　
絶対値の積に負の符号をつける。
(＋)×(－) → (－)
(－)×(＋) → (－)

① (＋３)×(－２)
＝－(３×２)
＝ー６

② (－３)×(＋２)
＝－(３×２)
＝－６

－１との積
ある数と－１との積を求めることはその数の符号を変えることと同じ。

① (－１)×４＝－４
② (－４)×(－１)＝＋４＝４
③ －(－５)＝(－１)×(－５)＝＋５＝５

０との積
どんな数に０をかけても
０にどんな数をかけても
０になる。

① (+３)×０＝０
② ０× (－２)＝０

乗法の計算法則

乗法の交換法則
\(a×b=b×a\)
乗法の結合法則
\((a×b)×c=a×(b×c)\)

いくつかの正負の数をかけるとき数の順序や組み合わせを変えて計算してもよい。

３数以上の乗法
① 積の符号は
負の数が偶数個(0,2,4…)のとき ＋
負の数が奇数個(1,3,5…)のとき －
② 積の絶対値は
かけ合わせる数の絶対値の積となる。

(1) (－５)×(＋８)×(－７)×(－４)
負の数が３個だから符号は－
＝－(５×８×７×４)
＝－１１２０

(2) \((-\frac{1}{3})\)×15×\((-\frac{6}{5})\)
負の数が２個だから符号は＋
=＋(\(\frac{1}{3}\)×15×\(\frac{6}{5})\)

＝＋(\(\frac{11×15×6}{3×1×5}\))

＝＋６
＝６

３数以上の積では乗法の結合法則を利用して絶対値のかける組み合わせを変えて計算しやすくすることで間違いが少なくなる。
２×５＝１０、４×２５＝１００など
５の倍数のかけ算に注目するとよい。

(3) (－７)×(－８)×(－２)×(－５)
負の数が４個だから符号は＋
＝＋(７×８×２×５)
７×８＝５６　２×５＝１０より
＝５６×１０
＝５６０