9月の学習ポイント②・　中学２年生

中学２年生の９月の数学の学習は単元「１次関数」となります。

「１次関数」
⒈ １次関数とグラフ
⒉ 直線の式の求め方
⒊ 方程式と１次関数
⒋ １次関数の利用
⒌ １次関数のグラフと図形
以上を学習します。

１次関数

⒊ 方程式と1次関数

(１) 連立方程式の解とグラフ

\(x, y\) についての連立方程式の解はそれぞれの方程式のグラフの交点の\(x\)座標、\(y\)座標となります。

２直線
\(\cases{y=-x+4　…① \\ y=2x-5　…②}\)
の交点の座標を求める。

① ②を連立方程式として解く。
代入法を使う。
①の右辺＝②の右辺
\(-x+4=2x-5\)
\(-x-2x=-5-4\)
\(-3x=-9\)
\(x=3\)

\(x=3\)を①へ代入する。
\(y=-3+4\)
\(y=1\)

\(\cases{x = 3 \\ y =1}\)
よって交点の座標は
（\( 3 , 1 \)）

⒋ 1次関数の利用

(１) １次関数のグラフと変域

(1A) 1次関数\(y=2x+1\) において\(x\) の変域が
1 ≦ \(x\) ≦ 3 のとき \(y\) の変域を求めなさい。

1次関数 \(y=2x+1\) の式に\(x=1\) , \(x=3\) を代入して \(y\) の値を求める。
\(x=1\)のとき
\(y=2×1+1=3\)
\(x=3\)のとき
\(y=2×3+1=7\)
これより\(y\) の変域は
3 ≦ \(y\) ≦ 7

(1B) 1次関数\(y=-2x+3\) において\(x\) の変域が
－1 < \(x\) < 3 のとき \(y\) の変域を求めなさい。

1次関数 \(y=-2x+3\) の式に\(x=-1\) , \(x=3\) を代入して \(y\) の値を求める。
\(x=-1\)のとき
\(y=-2×(-1)+3=5\)
\(x=3\)のとき
\(y=-2×3+3=-3\)
これより\(y\) の変域は
－3 < \(y\) < 5

※変域の両端の値を含むのかどうかに注意する。
グラフでは等号(＝)をふくむ場合 ●
含まない場合は 〇 を両端にする。

(２) 点の移動と面積

(2) 下図の長方形ABCDで点PはAを出発して辺上をB,Cを通ってDまで動く。
点PがAから \(x\) cm動いたときの
△APDの面積を \(y cm^{2}\)として
\(x\)と \(y\) の関係を式で表し、グラフもかきなさい。

点Pがどの辺上にあるのかで場合に分けて考える。
① 点Pが辺AB上のとき

\(x\) の変域は
0 ≦ \(x\) ≦ 4
\(y=\dfrac{1}{2}×6×x\)
\(y=3x\)

② 点Pが辺BC上のとき

\(x\) の変域は
4 ≦ \(x\) ≦ 10
\(y=\dfrac{1}{2}×6×4\)
\(y=12\)

③ 点Pが辺CD上のとき

\(x\) の変域は
10 ≦ \(x\) ≦ 14
\(y=\dfrac{1}{2}×6×(4+6+4-x)\)
\(y=\dfrac{1}{2}×6×(14-x)\)
\(y=3(14-x)\)
\(y=42-3x\)
\(y=-3x+42\)

答
① \(y=3x\)　0 ≦ \(x\) ≦ 4
② \(y=12\)　　4 ≦ \(x\) ≦ 10
③ \(y=-3x+42\)　10 ≦ \(x\) ≦ 14　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

グラフ

(3) 1次関数のグラフの利用

(3) 下の図はA君が10時に家を出発し 600mはなれた本屋に歩いて行ったようすを表したグラフである。

兄は10時3分に家を出発し分速150mの自転車で同じ道を通って本屋に向かった。

① A君の歩く速さは分速何mか。
② 兄のようすを表すグラフをかき入れなさい。
③ 兄がA君に追いつく時刻をグラフから読み取りなさい。

① A君は 600mの道のりを10分で歩いたので
その速さは
速さ＝\(\dfrac{道のり}{時間}\) より
\(\dfrac{600}{10}=60\) (m)

答　分速60m

② 兄の進む速さは分速150mだから
家から本屋までかかる時間は
時間＝\(\dfrac{道のり}{速さ}\) より
\(\dfrac{600}{150}=4\) (分)

兄は10時3分に家を出発し、10時7分に本屋に着いたことになる。
グラフは2点
(3, 0、(7, 600)を結ぶ直線になる。

③ グラフより２つのグラフが交わる位置の時刻は
10時5分である。

答　10時5分

⒌ 1次関数グラフと図形

(1) 直線と交点

① 直線\(l\) はと\(x\)軸との交点の \(x\)座標が5で
直線\(y=x+4\) との交点Aの\(x\)座標が2である。
直線\(l\) の式を求めなさい。

直線\(l\)の\(x\)軸との交点の 座標は
\(x\)軸との交点の \(x\)座標が5
\(x\)軸との交点の \(y\)座標は0
よって\(x\)軸との交点の座標は
( 5, 0 )

点Aの\(y\)座標は\(y=x+4\) に
\(x=2\)を代入すると
\(y=2+4=6\)
よって点Aの座標は
A ( 2, 6 )

直線\(l\) は
2点 ( 5, 0 )、( 2, 6 )を通る直線となる。
\(y=ax+b\) に ( 5, 0 )、( 2, 6 )を代入する。

\(\begin{array}{rr}
& \ 0=5a+b\ \ \\
-)&6=2a+b\ \ \\
\hline
&-6=3a\\
&3a=-6\\
&a\ =-2\ \
\end{array}\)

\(a=-2\)を
\(5a+b=0\)に代入
\(5×(-2)+b=0\)
\(-10+b=0\)
\(b=10\)

\(a=-2, b=10\)を
\(y=ax+b\) に代入
\(y=-2x+10\)

答　 \(y=-2x+10\)

(2) 直線と三角形の面積

(2) ２つの直線\(l\) : \(y=2x+4\)
\(m\) : \(y=-x+7\) の交点をA
直線\(l\)と\(x\)軸との交点をB
直線\(m\)と\(x\)軸との交点をCとする。

① 3点 A , B , C の座標を求めなさい。
② △ABC の面積を求めなさい。
ただし座標の1目もりを1cm とする。

① 点Aの座標は
\(y=2x+4\) と \(y=-x+7\) の交点なので連立方程式を解いて求める。
\(y=2x+4\)…① と \(y=-x+7\) …②を代入法で解く。
(①の右辺)＝(②の右辺)
\(2x+4=-x+7\)
\(2x+x=7-4\)
\(3x=3\)
\(x=1\)
\(x=1\) を①へ代入する。
\(y=2x×1+4=6\)
\(x=1\) と \(y=6\)
よってAの座標は
A ( 1, 6 )

点Bの座標は
直線\(l\) : \(y=2x+4\) の\(x\)軸との交点。
\(x\)軸との交点は\(y\)座標が0となるので
\(y=2x+4\) に\(y=0\) を代入する。
\(2x+4=0\)
\(2x=-4\)
\(x=-2\)
よってBの座標は
B ( -2, 0 )

点Cの座標は
直線\(m\) : \(y=-x+7\) の\(x\)軸との交点。
\(x\)軸との交点は\(y\)座標が0となるので
\(y=-x+7\) に\(y=0\) を代入する。
\(-x+7=0\)
\(-x=-7\)
\(x=7\)
よってCの座標は
C ( 7, 0 )

① 答
A ( 1, 6 )、B ( -2, 0 )、C ( 7, 0 )

② △ABC の面積は
三角形の面積＝\(\dfrac{1}{2}\)×底辺×高さ
底辺BC=7－(－2)＝7＋2＝9
高さ＝点Aの\(y\)座標＝6
△ABC＝\(\dfrac{1}{2}\)×9×6
△ABC＝27

答　27\(cm^{2}\)

(3) 直線上の点の座標

(3) 直線 \(y=x+2\) 上の点Aから\(x\)軸、\(y\)軸に
それぞれ垂線AB、ACをひく。
長方形ACOBの周の長さが 20 である。
このとき点Aの座標を求めよ。
ただし、点Aの座標は正とする。

点Aの\(x\)座標を\(m\)とする。
点Aは直線 \(y=x+2\) 上の点なので
点Aの\(y\)座標は\(y=m+2\)
よって点Aの座標は(\(m,m+2\) )となる。

このとき B( m, 0)、C( 0, m+2 ) なので
CA＝OB＝m
CO＝AB＝m＋2
長方形ACOBの周の長さが 20 なので
(m＋m＋2)×2＝20
2m＋2＝10
2m＝10－2
2m＝8
m＝4
点Aの座標は(\(m,m+2\) )より
( 4, 6 )
答　A( 4, 6)