9月の学習ポイント②・　中学１年生

中学１年生の９月の数学の学習は単元「１次方程式」において「等式と不等式、方程式」「１次方程式の解き方」「１次方程式の利用」となります。

「１次方程式」
⒈ 等式と不等式、方程式
⒉ １次方程式の解き方
⒊ １次方程式の利用
以上を学習します。

１次方程式

⒊ 1次方程式の利用(1)

(1) 代金に関する問題

(1) ケーキを4個とプリンを1個買ったところ代金の合計が1430円になった。
プリン1個の値段が150円のときケーキ1個の値段はいくらか。

次の①～⑤の順序で考え答えを求める。
① 求めるものを\(x\) で表す。
ケーキの値段を\(x\) 円とする。

② 問題に含まれている数量を\(x\) で表す。
代金は \((4x+150)\) 円

③ 等しい関係にある数量をみつけて方程式をつくる。
代金の合計は1430円だから
\(4x+150=1430\)

④ 方程式を解いて解を求める。
\(4x+150=1430\)
\(4x=1430-150\)
\(4x=1280\)
\(x=320\)

⑤ 解が適しているかどうか確かめる。
解は自然数なので適している。

答　320円

(2) 分配に関する問題

(2) 30個のあめを兄と弟で分けたところもらったあめの個数は弟のほうが兄よりも6個多くなった。
兄のもらったあめは何個か。

次の①～⑤の順序で考え答えを求める。
① 求めるものを\(x\) で表す。
兄がもらったあめを\(x\) 個とする。

② 問題に含まれている数量を\(x\) で表す。
弟がもらったあめは \((x+6)\) 個

③ 等しい関係にある数量をみつけて方程式をつくる。
あめは全部で30個あるから
\(x+(x+6)=30\)

④ 方程式を解いて解を求める。
\(x+x+6=30\)
\(x+x=30-6\)
\(2x=24\)
\(x=12\)

⑤ 解が適しているかどうか確かめる。
兄が12個、弟が18個で適する。

答　12個

(3) 過不足に関する問題

(3) 折り紙を何人かの子どもに分けるのに1人に5枚ずつ分けると10枚たりない。
1人に3枚ずつ分けると22枚余る。
子どもの人数と折り紙の枚数をそれぞれ求めなさい。

子どもの人数を\(x\) 人とする。
折り紙は1人に5枚ずつ分けると10枚たりない
折り紙は1人に5枚ずつ分けるには
5×(子どもの人数)枚必要だが10枚不足しているので
折り紙の枚数は
5×(子どもの人数)－10 (枚)
\(=5x-10\) (枚)…①

1人に3枚ずつ分けると22枚余るので
折り紙は1人に3枚ずつ分けるには
3×(子どもの人数)枚必要だが22枚多いので
折り紙の枚数は
3×(子どもの人数)+22 (枚)
\(=3x+22\) (枚)…②

①②はどちらも同じ折り紙の枚数を表すので
\(5x-10=3x+22\)
\(5x-3x=22+10\)
\(2x=32\)
\(x=16\)
よって子どもの人数は 16 人

折り紙の枚数は①より
\(5x-10\)
\(=5×16-10\)
\(=80-10\)
\(=70\)

または②より
\(3x+22\)
\(=3×16+22\)
\(=48+22\)
\(=70\)
どちらも問題に適する。

答　子どもの人数　16人
　　折り紙の枚数　70枚

⒊ 1次方程式の利用(2)

(1) 個数と代金に関する問題

(1) 1個80円のみかんと1個130円のりんごを合わせて10個買ったら代金の合計が1000円でした。
みかんとりんごはそれぞれ何個買いましたか。

みかんを\(x\) 個買うとすると
りんごの個数は合わせて10個買うので
\((10-x)\) 個となる。

みかんとりんごの代金の合計が1000円なので
(みかんの代金)＋(りんごの代金)＝(代金の合計)より

\(80x+130(10-x)=1000\)
\(80x+1300-130x=1000\)
\(80x-130x=1000-1300\)
\(-50x=-300\)
\(x=6\)

よって、みかんは6個
りんごは\(10-6=4\) 個
これらは問題に適している。

答　みかん 6個　りんご 4個

(2) 速さに関する問題

(2A) 弟が家を出発して駅に向かった。
その12分後に兄が家を出発して弟を追いかけた。
弟の進む速さを分速60m、兄の進む速さを分速150mとすると
兄は家を出発してから何分後に弟に追いつくか。

兄が出発してから\(x\) 分後に弟に追いつくとすると
兄が弟に追いつくということは
兄の進んだ道のり＝弟の進んだ道のり
となる。

兄が弟に追いつくとき
弟は兄より12分多く歩いている。
弟は追いつかれるまで\((12+x)\) 分歩く。

道のり＝速さ×時間より
兄の進んだ道のり
\(150×x=150x\) m
弟の進んだ道のり
\(60×(12+x)=60(12+x)\) m

兄の進んだ道のり＝弟の進んだ道のり
\(150x=60(12+x)\)
\(150x=720+60x\)
\(150x-60x=720\)
\(90x=720\)
\(90x=720\)
\(x=8\)
これは問題に適している。

答　8分後

(2B) 家から2000mはなれた学校へ行くのに
はじめは分速60mで歩き、途中の公園から分速80mで歩いたら家を出てから30分後に学校に着いた。
公園から学校までの道のりを求めなさい。

公園から学校までの道のりを\(x\) mとすると
家から公園までの道のりは
\(2000-x\) mとなる。
家から公園までの時間＋公園から学校までの時間＝30分
という式になる。

家から公園までの時間は
時間＝\(\dfrac{道のり}{速さ}\)より
\(\dfrac{2000-x}{60}\)分
公園から学校までの時間は
\(\dfrac{x}{80}\)分となる。

家から公園までの時間＋公園から学校までの時間＝30分より
\(\dfrac{2000-x}{60}+\dfrac{x}{80}=30\)
×240して分母をはらう
\(4(2000-x)+3x=7200\)
\(8000-4x+3x=7200\)
\(-4x+3x=7200-8000\)
\(-x=-800\)
\(x=800\)

答　800m

(3) 割合に関する問題

(3A) 折り紙が何枚かある。
姉が全体の\(\dfrac{1}{2}\)を取り、妹が全体の\(\dfrac{1}{3}\)を取ったところ折り紙は15枚残った。
折り紙は全部で何枚あったか。

折り紙の全体の枚数を\(x\) 枚とすると
姉が取った枚数は
(全体の枚数)×\(\dfrac{1}{2}\)＝\(\dfrac{1}{2}x\)
妹が取った枚数は
(全体の枚数)×\(\dfrac{1}{3}\)＝\(\dfrac{1}{3}x\)

(姉が取った枚数)＋(妹が取った枚数)＋(残りの枚数)＝(全体の枚数)
\(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}x+15=x\)
×6をして分母を払う
\(3x+2x+90=6x\)
\(5x-6x=-90\)
\(-x=-90\)
\(x=90\)

答　90枚

(3B) 4％の食塩水200gに10％の食塩水を何gか混ぜて6％の食塩水をつくる。
10％の食塩水を何g混ぜればよいか。

10％の食塩水を\(x\)g混ぜるとすると
食塩の重さは混ぜる前と後では変わらないことから式をつくる。

4％の食塩水200g中の食塩の重さは
\(200×\dfrac{4}{100}\) (g)
10％の食塩水\(x\)g中の食塩の重さは
\(x×\dfrac{10}{100}=\dfrac{10}{100}x\)
6％の食塩水の重さは
\((200+x)\)gとなるので
6％の食塩水\((200+x)\)g中の食塩の重さは
\((200+x)×\dfrac{6}{100}=\dfrac{6}{100}(200+x)\)

4％の食塩水の食塩の重さ＋10％の食塩水中の食塩の重さ
＝6％の食塩水の食塩の重さ

\(200×\dfrac{4}{100}+\dfrac{10}{100}x=\dfrac{6}{100}(200+x)\)
×100より分母を払う
\(800+10x=6(200+x)\)
\(800+10x=1200+6x)\)
\(10x-6x=1200-800\)
\(4x=400\)
\(x=100\)

答　100g

比例式

(1) 比例式

比の値
比 \(a:b\) で\(a\) を\(b\) でわった商等\(\dfrac{a}{b}\)を
\(a:b\) の比の値という。
2つの比 \(a:b\) と\(c:d\) でそれらの比の値が等しいとき
2つの比 \(a:b\) と\(c:d\) は等しいといい
\(a:b\)＝\(c:d\) と表す。

比例式
等しい比を等号で結んだ式を比例式という。
比例式の性質
\(a:b\)＝\(c:d\) ならば\(ad\)＝\(bc\)
※比例式の外側の積と内側の積は等しい

(1) \(x:6\)＝\(15:18\) ならば
\(x×18＝6×15\)
\(x=\dfrac{6×15}{18}\)
\(x=5\)

※比例式に含まれる文字の値を求めることを比例式を解くという。

(2) 比例式の利用

(2) ある薬品は液体Aを30mL、液体Bを70mL混ぜて作られている。
液体Aが12mLあるとき、この薬品を作るには液体Bを何mL混ぜればよいか。

この薬品を作るとき液体Aと液体Bの量の比は
A：B＝30：70 なので
この比に等しくなるようにすればよい
液体Bを \(x\)mL混ぜるとすると
\(12:x=30:70\)
\(x×30=12×70\)
\(x=\dfrac{12×70}{30}\)
\(x=28\)

答　28mL