５月の学習ポイント②・中学１年生
小川村塾
中学１年生の５月の数学の学習は単元「正負の数」において「加減混合計算」「乗法・除法」「四則計算」となります。
「正負の数」
⒈ 加減混合計算
⒉ 乗法・除法
⒊ ①四則混合計算
②分配法則
③正の数・負の数の利用
⒋ ①数の集合
② 最大公約数・最小公倍数
以上を学習します。
正の数・負の数
⒈ 加減混合計算
加減混合計算
加減が混じった式の計算ではまずかっこをなくした式にする。
次の方法よりかっこをなくす
\(+(+ ) → +\)
\(－(－) → +\)
\(+(－) → －\)
\(－(+ ) → －\)
式のはじめの項の+は書かない。
① \((+2)－(+7)+(－6)－(－3)－(+8)\)
上記の方法によりかっこをなくす
\(= 2－7－6+3－8\)
正の項、負の項に並べかえる
\(= 2+3－7－6－8\)
正の数の和、負の数の和を求める
\(= 5－21\)
負の数が大きい２数の差
\(= －(21－5)\)
\(= －16\)
② \((－3)+(+8)－(－1)+(－4)－(+5)\)
上記の方法によりかっこをなくす
\(= －3+8+1－4－5\)
正の項、負の項に並べかえる
\(= －3+8+1－4－5\)
\(= 8+1－3－4－5\)
正の数の和、負の数の和を求める
\(= 9－12\)
負の数が大きい２数の差
\(= －3\)
⒉ 乗法・除法
乗法の計算法則
乗法の交換法則
\(a×b=b×a\)
乗法の結合法則
\((a×b)×c=a×(b×c)\)
３数以上の乗法・除法
符号は
負の数が偶数個(0,2,4…)のとき ＋
負の数が奇数個(1,3,5…)のとき －
(1) (－５)×(＋８)×(－７)×(－４)
負の数が３個だから符号は－
＝－(５×８×７×４)
＝－１１２０
(2) \((-\frac{1}{3})\)×15×\((-\frac{6}{5})\)
負の数が２個だから符号は＋
=＋(\(\frac{1}{3}\)×15×\(\frac{6}{5})\)
＝＋(\(\frac{11×15×6}{3×1×5}\))
＝＋６
＝６
３数以上の積では乗法の結合法則を利用して絶対値のかける組み合わせを変えて計算しやすくすることで間違いが少なくなる。
２×５＝１０、４×２５＝１００など
５の倍数のかけ算に注目するとよい。
(3) (－７)×(－８)×(－２)×(－５)
負の数が４個だから符号は＋
＝＋(７×８×２×５)
７×８＝５６ ２×５＝１０より
＝５６×１０
＝５６０
累乗…同じ数をいくつかかけ合わせたものをその数の累乗という。
２×２×２＝２\(^{3}\)
累乗の計算の間違いやすいこと
マイナスの符号のかっこの２乗とかっこなしの２乗の違い
① \((-3)^{2}\)
\(=(-3)×(-3)\)
\(=9\)
② \(-3^2\)
\(=-(3×3)\)
\(=-9\)
③\((-3^{2})\)
\(=(-3×3)\)
\(=(-9)\)
⒊ ①四則混合計算
四則混合計算では 累乗→かっこの中→乗除→加減の順で計算をする。
マイナスの項はかっこをつけて符号に注意して計算をする。
(1) ２×(－５)＋６÷(ー３)
乗法・除法の計算
＝－１０＋(－２)
加法の計算
＝－１０－２
＝－１２
(2) ６－４０÷(－７＋２)
かっこの中の計算
＝６－４０÷(－５)
除法の計算
＝６－(－８)
加法の計算
＝６＋８
＝１４
(3) ３６＋２\(^{3}\)×(－５)
累乗の計算
＝３６＋８×(－５)
乗法の計算
＝３６＋(－４０)
減法の計算
＝３６－４０
＝－４
(4) ２×(－３\(^{2}\)＋５)
累乗の計算
＝２×(－９＋５)
かっこの中の計算
＝２×(－４)
乗法の計算
＝－８
②分配法則
\(a×(b+c)=a×b+a×c\)
(1) (\(\frac{2}{3}\)－\(\frac{3}{4})\)×１２
＝\(\frac{2}{3}\)×１２－\(\frac{3}{4}\)×１２
＝８－９
＝－１
\((b+c)×a=b×a+c×a\)
(2) (－９)×７３＋(－９)×２７
＝ (－９)×(７３＋２７)
＝ (－９)×１００
＝－９００
③正の数・負の数の利用
平均を求める。
平均＝\(\frac{全体の数の合計}{全体の個数}\)
基準との差より平均を求める。
平均＝基準＋\(\frac{基準との差の合計}{全体の個数}\)
(1) 下の表はA～Fの６人の体重を４５ｋｇを基準にして差を求めたものである。
① Fの体重とEの体重の差は何kgか。
② ６人の体重の平均を求めなさい。
| A | B | C | D | E | F | |
| 差 | ＋１ | －３ | －５ | ＋８ | －２ | ＋４ |
① Fの体重とEの体重の差は何kgか。
解）Fの体重－Eの体重
例１）基準４５kgとの差より求める。
＋４－(－２)＝４＋２＝６
答え ６kg
注意 ４－２＝２ ２kgとする間違いが多い。
例２）実際の体重を求める。
Fの体重 ４５＋４＝４９㎏
Eの体重 ４５－２＝４３㎏
差は ４９－４３＝６
答え ６kg
② ６人の体重の平均を求めなさい。
平均＝基準＋\(\frac{基準との差の合計}{全体の個数}\)
より求める。
基準との差の合計
＋１－３－５＋８－２＋４＝３
仮平均（差の平均）
３÷６＝0.5
これは6人の体重の平均が基準の４５kgよりも0.5kg重いことを意味している。
よって6人の体重の平均は ４５＋0.5 ＝ 45.5
6人の実際の体重を求めてその合計を6でわる方法でも平均は求めることができる。
計算が大変なので計算ミスがおきやすい。
平均＝\(\frac{全体の数の合計}{全体の個数}\)
⒋ ①数の集合
素数…２、３、５、７のように１とその数自身のほかに約数がない自然数を素数という。
１は素数ではないので注意する。
素因数…素数である約数を素因数という。
素因数分解…自然数を素因数だけの積で表すことを素因数分解するという。
(1) ６０の素因数分解
６０＝２×２×３×５
＝２\(^{2}\)×3×５
\begin{array}{rr}
&2) 60\\
\hline
&2) 30\\
\hline
&3) 15\\
\hline
&5
\end{array}
② 最大公約数・最小公倍数
最大公約数を求める。
素因数分解をして2つの数に共通な素因数を取り出してかける。
筆算の場合は左のたての数字をかける。
最小公倍数を求める。
素因数分解をして各素因数について数が多い方を選びかける。
筆算の場合はたてと横をかける。L字にかける。
(1) ４５と５４の最大公約数、最小公倍数を求めよ。
素因数分解をする。
最大公約数
３×３＝９ 答え ９
最小公倍数
３×３×５×６＝２７０ 答え ２７０
\begin{array}{rr}
&3) 45,54\\
\hline
&3) 15,18\\
\hline
&5, 6
\end{array}
(2) ８４にできるだけ小さな自然数をかけてある数の2乗にしたい。
どんな数をかければよいか。
解）素因数分解をしてすべての数を2乗にする。
素因数分解をして累乗の形ではなくすべての数をかく。
同じ数を2つセットで丸を付け仲間外れ同士をかける。
それが答え。
筆算の場合も同じ数を2つセットで丸で囲み残った数をかける。
８４を素因数分解する。
８４＝2×2×3×７
＝２\(^{2}\)×3×７
３×７＝２１をかければ
２\(^{2}\)×3\(^{2}\)×７\(^{2}\)
＝(2×３×７)\(^{2}\)
＝４２\(^{2}\)
８４は２１をかければ４２の2乗になる。
答え ２１
\begin{array}{rr}
&2) 84\\
\hline
&2) 42\\
\hline
&3) 21\\
\hline
&7
\end{array}
