５月の学習ポイント①・中学３年生

中学３年生の５月の数学の学習は「因数分解」「因数分解の利用」となります。

①因数分解
②因数分解の利用
以上を学習します。

因数分解

因数
単項式や多項式がいくつかの単項式や多項式の積の形で表されるとき、その１つ１つの式をもとの式の因数という。

\(x(x+3)\)を展開すると\(x^{2}+3x\)となる。
これを逆にみると\(x^{2}+3x\)＝\(x(x+3)\)となる。
これは \(x^{2}+3x\) を \(x\) と \(x+3\) の積で表している。
このとき \(x\) と\(x+3\) を \(x^{2}+3x\) の因数という。

因数分解
多項式をいくつかの因数の積として表すことを因数分解するという。

共通な因数でくくる因数分解

① \(x^{２}+４x\)
２つの項に共通な因数\(x\)がある
＝\(x\)×\(x\)+４×\(x\)
共通因数をかっこの外にくくりだす
残りの式全体をかっこでくくる
＝\(x(x+４)\)

②２\(a^{２}b+６abc\)
２つの項に共通な因数２と\(a\)と\(ｂ\)がある
＝２×\(a\)×\(a\)×\(b\)+６×\(a×b×c\)
共通因数をかっこの外にくくりだす
残りの式全体をかっこでくくる
＝２\(ab\)\((a+３c)\)

よくある間違い
共通因数を全部くくり出していない。
２\(a^{２}b+６abc\)
＝\(ab\)\((２a+６c)\)
共通因数の２かっこの中に残っている。

公式による因数分解

乗法公式を逆に使って因数分解することができる。
因数分解の公式
[公式１]　 \(x^{2}+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)\)
[公式２]　 \(x^{2}+2ax+a^{2}＝(x+a)^{2}\)
[公式３]　 \(x^{2}－2ax+a^{2}＝(x－a)^{2}\)
[公式４]　 \(x^{2}－a^{2}＝(x+a)(x－a)\)

公式による因数分解①
\(x^{2}+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)\)

(1) \(x^{2}\pm8x+15\)
①３つの項の間の後ろの符号が＋かーかを見る。
② 後ろの符号が＋のとき
　前の符号が＋ならば
　 \((x+　 )(x+ 　)\)
　前の符号が－ならば
　 \((x－ 　)(x－　 )\)と書く。
③ 後ろの符号が＋のとき
　かけて後ろの数、足して真ん中の数を見つける。
（上記の場合）
　かけて１５、たして８の2つの数を見つける。
　３×５＝１５、３＋５＝８
　よって2つの数は３と５
④前の符号が＋ならば
　 \((x+３)(x+５)\)
　前の符号が－ならば
　 \((x－３)(x－５)\)

(2) \(x^{2}\pm２x－15\)
①３つの項の間の後ろの符号が＋かーかを見る。
② 後ろの符号が－のとき
　前の符号が＋ならば
　 \((x+　 )(x－ 　)\)
　前の符号が－ならば
　 \((x－ 　)(x＋　 )\)と書く。
③ 後ろの符号が－のとき
　かけて後ろの数、ひいて真ん中の数を見つける。
（上記の場合）
　かけて１５、ひいて２の2つの数を見つける。
　３×５＝１５、５－３＝２
　よって2つの数は３と５
④大きい数の方を前のかっこに書く。
　前の符号が＋ならば
　 \((x+５)(x－３)\)
　前の符号が－ならば
　 \((x－５)(x＋３)\)

(3) \(x^{2}＋９x+２０\)
①後ろの符号が＋で前の符号が＋なので
　 \((x+　 )(x+ 　)\)
②後ろの符号が＋なので
　かけて２０、たして９の2つの数
　４×５＝２０、４＋５＝９
　よって2つの数は４と５
③\((x+　 )(x+ 　)\)に４と５を書く。
　\((x+４)(x+５)\)

(4) \(x^{2}－５x+６\)
①後ろの符号が＋で前の符号が－なので
　 \((x－　 )(x－ 　)\)
②後ろの符号が＋なので
　かけて６、たして５の2つの数
　２×３＝６、２＋３＝５
　よって2つの数は２と３
③\((x－　 )(x－ 　)\)に２と３を書く。
　\((x－２)(x－３)\)

(5) \(x^{2}＋２x－３５\)
①後ろの符号が－で前の符号が＋なので
　 \((x+　 )(x－ 　)\)
②後ろの符号が－なので
　かけて３５、ひいて２の2つの数
　７×５＝３５、７－５＝２
　よって2つの数は７と５
　\((x+　 )(x－ 　)\)
　大きい数７を前のかっこに書く。
　\((x+７)(x－ ５)\)

(6) \(x^{2}－５x－１４\)
①後ろの符号が－で前の符号が＋なので
　 \((x+　 )(x－ 　)\)
②後ろの符号が－なので
　かけて３５、ひいて２の2つの数
　７×５＝３５、７－５＝２
　よって2つの数は７と５
　\((x+　 )(x－ 　)\)
　大きい数７を前のかっこに書く。
　\((x+７)(x－ ５)\)

公式による因数分解②
\(x^{2}+2ax+a^{2}＝(x+a)^{2}\)

(1) \(x^{2}＋６x+９\)
①先頭と３つめの項が2乗になっている場合。
② それぞれ2乗の形にする。
　（上記の場合）
　\(x^{2}\) →\(x\) の2乗
　９→\(３^{2}\) →３の2乗
③真ん中の項が２×②の2数になれば
　２×\(x\)×３＝６\(x\)
④ \(x^{2}＋２×x×３+３^{2}\)
　＝\((x＋３)^{2}\)

(2) \(９x^{2}＋１２x+４\)
①先頭と３つめの項が2乗になっている場合。
② それぞれ2乗の形にする。
　（上記の場合）
　\(９x^{2}\) →\(３x\) の2乗
　４→\(２^{2}\) →２の2乗
③真ん中の項が２×②の2数になれば
　２×\(３x\)×２＝１２\(x\)
④ \(９x^{2}＋２×３x×２+２^{2}\)
　＝\((３x＋２)^{2}\)

公式による因数分解③
\(x^{2}－2ax+a^{2}＝(x－a)^{2}\)

(1) \(x^{2}－８x+１６\)
①先頭と３つめの項が2乗になっている場合。
② それぞれ2乗の形にする。
　（上記の場合）
　\(x^{2}\) →\(x\) の2乗
　１６→\(４^{2}\) →４の2乗
③真ん中の項が２×②の2数になれば
　２×\(x\)×４＝８\(x\)
④ \(x^{2}－２×x×４+４^{2}\)
　＝\((x－４)^{2}\)

(2) \(４x^{2}－２０x+２５\)
①先頭と３つめの項が2乗になっている場合。
② それぞれ2乗の形にする。
　（上記の場合）
　４\(x^{2}\) →２\(x\) の2乗
　２５→\(５^{2}\) →５の2乗
③真ん中の項が２×②の2数になれば
　２×２\(x\)×５＝２０\(x\)
④ \((２x)^{2}－２×２x×５+５^{2}\)
　＝\((２x－５)^{2}\)

公式による因数分解④
\(x^{2}－a^{2}＝(x+a)(x－a)\)

(1) \(x^{2}\)－１６
①前項の2乗＝後項の2乗の形になっている場合。
② それぞれ2乗の形にする。
　（上記の場合）
　\(x^{2}\) →\(x\) の2乗
　１６→\(４^{2}\) →４の2乗
③ ＝\((x)^{2}－４^{2}\)
　＝\((x+４)(x－ ４)\)

(2) \(４x^{2}\)－９
①前項の2乗＝後項の2乗の形になっている場合。
② それぞれ2乗の形にする。
　（上記の場合）
　\(４x^{2}\) →２\(x\) の2乗
　９→\(３^{2}\) →３の2乗
③ ＝\((２x)^{2}－３^{2}\)
　＝\((２x+３)(２x－ ３)\)