４月の学習ポイント・　中学１年生

中学１年生の４月の数学の学習は単元「正負の数」において「正の数・負の数」「加法・減法」「加減混合計算」となります。

小学生までは正の数の範囲で学習していました。
中学生になると負の数も加えて学習することになります。

「正負の数」
①正の数・負の数
②加法・減法
③加減混合計算
以上を学習します。

加減混合計算においてかっこのない計算を行うようになります。
このとき間違いやすい２つのパターンの計算があります。

この計算を確実にできるようにしておくことが数学が苦手にならないようにするためには大切です。

間違いやすいポイント

\(－a+b=－(a+b) \)とする間違い

　\(－5+3\)
\(=－(5+3)\)
\(= －8\)　間違い

正解は
\(－a+b=－(a－b) \)
\(－5+3\)
\(= 3－5\)
\(=－(5－3)\)
\(=－2\)　

\(－a－b=－(a－b)\)とする間違い　

\(－9－3 \)
\(=－(9－3)\)
\(= －6\)　間違い

正解は
\(－a－b=－(a+b)\)
\(－9－3 \)
\(=－(9+3)\)
\(=－12\)　

①正の数・負の数
正の数　０よりも大きい数
正の符号「＋」をつけて表すことがある。
中学１年生の始めの学習では正の数を意識するために「＋」の符号をつけるが最終的には「＋」の符号は書かない。

負の数　０よりも小さい数
負の符号「－」をつけて表す。

０は正でも負でもないない数
整数　0および0に次々に1を足したり引いたりして得られる数
分数、小数でもない数
…－3,－2,－1, 0, 1, 2, 3,…
自然数　正の整数　1,2,3,…
０は入らない

自然数と整数の違いに注意する。
自然数は正の整数なので負の数、0 が含まれない。
1,2,3,…
整数は負の数、0 も含まれる。
…－3,－2,－1, 0, 1, 2, 3,…

反対の性質をもつ量
収入と支出、高いと低い、長いと短いなど
一方を正の数で表すと他方は負の数で表すことができる。

800円の収入を800円とすると500円の支出は－500円と表す。

数の大小
数直線の０より右側が正の数、左側が負の数。
数の大小を比べるとき数直線上で右側にある数の方が大きい。

絶対値
数直線上である数に対応する点と原点との距離をその数の絶対値という。
絶対値はその数の符号を取った数。

数の大小では負の数（符号がマイナス）の場合は絶対値の数が大きいほどその数は小さくなる。
－８と－３では－８の絶対値は８、－３の絶対値は３なので
－８の方が－３より小さくなる。

②加法・減法
加法
たし算のことを加法という。
その結果を和という。

正負の数の加法
(1) 同符号の２つの数の和
２つの数と同じ符号を先に書き２つの数の絶対値をたす。

\((+3)+(+6)\)
２つの数と同じ符号[+]を書いて絶対値をたす。
\(= +(3+6)\)
\(= +9\)

\((－5)+(－2)\)
２つの数と同じ符号[－]を書いて絶対値をたす。
\(= －(5+2)\)
\(= －7\)

(2) 異符号の２つの数の和
絶対値の大きい方の数の符号を先に書いて絶対値の大きい方から小さい方をひく。

\((+6)+(－4)\)
絶対値の大きい方の符号[+]を書いて絶対値の差。
\(= +(6－4)\)
\(= +2\)

\((－5)+(+2)\)
絶対値の大きい方の符号[－]を書いて絶対値の差。
\(= －(5－2)\)
\(= －3\)

(3) 絶対値が等しい異符号の２つの数の和は０
\((+3)+(－3) = 0\)

正負の数の減法
ひき算のことを減法という。
その結果を差という。

正負の数の減法ではひく数の符号を変えて加法にして計算をする。
ひく[－]をたす[+]になおして後の符号を変える。

(1) 正の数をひく２つの数の計算

\((+3)－(+5)\)
ひく[－]をたす[+]になおして後の符号[+]を[－]に変える。
\(= (+3)+(－5)\)
絶対値の大きい方の符号[－]を書いて絶対値の差。
\(= －(5－3)\)
\(= －2\)

\((－6)－(+2)\)
ひく[－]をたす[+]になおして後の符号([+]を[－]に変える。
\(= (－6)+(－2)\)
２つの数と同じ符号[－]を書いて絶対値をたす。
\(= －(6+2)\)
\(= －8\)

(2) 負の数をひく２つの数の計算

\((+4)－(－3)\)
ひく[－]をたす(+)になおして後の符号[－]を[+]に変える。
\(= (+4)+(+3)\)
２つの数と同じ符号[+]を書いて絶対値をたす。
\(= +(4+3)\)
\(= +7\)

\((－5)－(－2)\)
ひく[－]をたす[+]になおして後の符号[－]を[+]に変える。
\(= (－5)+(+2)\)
絶対値の大きい方の符号[－]を書いて絶対値の差。
\(= －(5－2)\)
\(= －3\)

(3) ０からある数をひく
０からある数をひくと差はひく数の符号を変えた数になる。

\(0－(+3)\)
ひく[－]をたす[+]になおして後の符号[+]を[－]に変える。
\(= 0+(－3)\)
\(= －3\)

\(0－(－5)\)
ひく[－]をたす[+]になおして後の符号[－]を[+]に変える。
\(= 0+(+5)\)
\(= +5\)

(4) ある数から０をひく
ある数から０をひいても差はもとの数のままになる。

\((－5)－0 = －5\)

加減混合計算
加法と減法の混じった計算

式の項
加法だけの式で加法の記号[+]で結ばれたそれぞれの数をこの式の項という。
正のものを正の項
負のものを負の項という。

\(3－8+7－6\)
加法の記号(+)で結ぶ
\(=(+3)+(－8)+(+7)+(－6)\)
正の項
\(+3, +7\)
負の項
\(－8, －6\)

加減混合計算
かっこのない式に直して正の数の和、負の数の和をそれぞれ求めて計算する。
式のはじめの項の[+]の符号は省略する。

かっこのない２つの数の計算

２つの数の加法
正の数+正の数
普通のたし算
\(3+2=5\)

負の数+正の数
正の数－負の数の絶対値に並べかえる

負の数の絶対値が正の数の絶対値より小さい場合
\(－3+5\)
\(= 5－3\)
\(= 2\)

正の数－負の数の絶対値
負の数の絶対値が正の数の絶対値より大きい場合

マイナスの符号を書いて絶対値の差
\(－6+2\)
\(=2－6\)
\(= －(6-2)\)
\(= －4\)

２つの数の減法
２つの数の減法では絶対値の大きい方から小さい方をひく。
そのとき負の項の絶対値が大きい場合は[－]の符号を答えの前につける。

正の数－正の数　ひく数が小さいときは普通のひき算
\(6－4 = 2\)

正の数－正の数　ひく数が大きいときはマイナス[－]をつけて絶対値をひく。
\(3－7\)
3と7では7の方が絶対値が大きいのでひく数の方が大きい。
ひく数が大きいときは[－]をつけて7－3をする
\(= －(7－3)\)
\(= －4\)

負の数－正の数
マイナスの符号[－]をつけて数はたす。

\(－2－6\)
\(= －(2+6)\)
\(= －8\)

間違いやすいポイント

次の２つの計算パターンが間違いやすいので要注意。
計算方法を確実にしておかないと数学が苦手になる要因となる。

間違いの例

\(－a+b=－(a+b) \)とする間違い

\(－5+3 \)
\(－5の絶対値5に3をたす\)
\(= －(5+3)\)
\(= －8\)　間違い

正解
\(－5+3 \)
正の項を前に並べかえる
\(＝ 3－5\)
ひく項の絶対値が大きいのでマイナス[－]をつけて絶対値の差
\(＝ －(5－3)\)
\(= －2\)

間違いの例

\(－a－b=－(a－b)\)とする間違い　

\(－9－3 \)
マイナス[－]をつけて絶対値をひく
\(= －(9－3)\)
\(= －6\)　間違い

正解
\(－9－3\)
マイナス[－]をつけて絶対値をたす
\(= －(9+3)\)
\(= －12\)

加減混合計算
加減が混じった式の計算ではまずかっこをなくした式にする。
次の方法よりかっこをなくす
\(+(+ ) → +\)
\(－(－) → +\)
\(+(－) → －\)
\(－(+ ) → －\)
式のはじめの項の+は書かない。

\((+2)－(+7)+(－6)－(－3)－(+8)\)
上記の方法によりかっこをなくす
\(= 2－7－6+3－8\)
正の項、負の項に並べかえる
\(= 2+3－7－6－8\)
正の数の和、負の数の和を求める
\(= 5－21\)
負の数が大きい２数の差
\(= －(21－5)\)
\(= －16\)

\((－3)+(+8)－(－1)+(－4)－(+5)\)
上記の方法によりかっこをなくす
\(= －3+8+1－4－5\)
正の項、負の項に並べかえる
\(= －3+8+1－4－5\)
\(= 8+1－3－4－5\)
正の数の和、負の数の和を求める
\(= 9－12\)
負の数が大きい２数の差
\(= －3\)