9月の学習ポイント①・　中学２年生

中学２年生の９月の数学の学習は単元「１次関数」となります。

「１次関数」
⒈ １次関数とグラフ
⒉ 直線の式の求め方
⒊ 方程式と１次関数
以上を学習します。

１次関数

⒈ １次関数とグラフ

(１) １次関数

１次関数
\(y\) が \(x\) の関数で \(y\) が \(x\) の１次式で表されるとき
\(y\) は \(x\) の１次関数であるという。

１次関数の式は
\(y=ax+b\)
\(a\) は０でない定数、\(b\) は定数

① \(y=2x-5\) ,\(y=-x+1\) は１次関数である。
\(y=\dfrac{6}{x}\), \(y=2x^2\) は１次関数ではない。
※ \(y=3x\), \(y=-2x\)のような比例の関係は
１次関数 \(y=ax+b\) において\(b=0\) になっている特別な場合である。
したがって比例も１次関数である。

② 次の㋐～㋒の \(x\) , \(y\) の関係を式で表し \(y\) が \(x\) の１次関数であるものをすべて選びなさい。

㋐ 底辺が \(x\) cm, 高さ6cmの三角形の面積を\(ycm^2\) とする。
㋑ 8kmの道のりを時速\(x\)kmで進んだ時にかかる時間を\(y\)時間とする。
㋒ たてが3cm, 横が\(x\)cmの長方形の周の長さを\(y\)cmとする。

１次関数であるもの 式が \(y=ax+b\) の形になるものを選ぶ。
㋐ 三角形の面積＝\(\dfrac{1}{2}\)×底辺×高さより
\(y=\dfrac{1}{2}×x×6\)
\(y=3x\)
\(y=ax+b\) において
\(a=3\), \(b=0\) なので１次関数である。

㋑ 時間＝\(\dfrac{道のり}{速さ}\)より
\(y=\dfrac{8}{x}\)
\(y=ax+b\) の形ではないので
１次関数ではない。

㋒ 周の長さ＝2×(たてと横の長さの和)より
\(y=2(3+x)\)
\(y=6+2x\)
\(y=2x+6\)
\(y=ax+b\) において
\(a=2\), \(b=6\) なので１次関数である。

式　㋐ \(y=3x\) ㋑ \(y=\dfrac{8}{x}\) ㋒ \(y=2x+6\)
１次関数であるもの　㋐, ㋒

(２) 変化の割合

変化の割合
\(x\) の増加量をもとにしたときの \(y\) の増加量の割合を変化の割合という。
１次関数 \(y=ax+b\) の変化の割合は一定で\(x\) の係数 \(a\) に等しい。

変化の割合は次の式で求める。
変化の割合＝\(\dfrac{yの増加量}{xの増加量}\)

増加量
〇から△までの増加量
まで－から＝△－〇

① \(y=2x-1\) で\(x\) の値が3から7まで増加したときの変化の割合を求めよ。

\(x\) の増加量　3から7まで
7－3＝4
\(y\) の増加量
\(x\)=3のとき \(y\)=2×3－1＝5
\(x\)=7のとき \(y\)=2×7－1＝13
まで－から
13－5＝8
\(x\) の増加量＝4
\(y\) の増加量＝8 より
変化の割合＝\(\dfrac{yの増加量}{xの増加量}\)　
変化の割合＝\(\dfrac{8}{4}\)＝2
変化の割合 2
これは \(a\)＝2 と同じである。 　　

② \(y=-3x+2\) で\(x\) の値が－2から4まで増加したときの変化の割合を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

\(x\) の増加量　－2から4まで
4－(－2)＝4+2＝6
\(y\) の増加量
\(x\)=－2のとき
\(y\)=－3×(－2)+2＝6+2=8
\(x\)=4のとき
\(y\)=－3×4+2＝－12+2=－10
まで－から
－10－8＝－18
\(x\) の増加量＝6
\(y\) の増加量＝－18 より
変化の割合＝\(\dfrac{yの増加量}{xの増加量}\)　
変化の割合＝\(\dfrac{-18}{6}\)＝－3
変化の割合 －3
これは \(a\)＝－3と同じである。 　

１次関数において変化の割合を求める場合は
\(y=ax+b\) の \(a\) が変化の割合である

\(y=4x+2\) の変化の割合は
\(a\)＝4なので
変化の割合は 4である。

(3) \(y\)の増加量

\(y\) の増加量＝変化の割合×\(x\) の増加量
\(y\) の増加量＝\(a\)×\(x\) の増加量

① \(y=3x-2\) について
\(x\) が4増加したときの\(y\) の増加量を求めよ。

\(y\) の増加量＝変化の割合×\(x\) の増加量
変化の割合\(a\)＝3
\(x\) の増加量＝4なので
\(y\) の増加量＝3×4＝12
答　12

(4) １次関数のグラフ

\(y=ax\) と\(y=ax+b\) のグラフの関係
１次関数1\(y=ax+b\) のグラフは \(y=ax\) のグラフを\(y\)軸の正の向きに\(b\)だけ平行移動した直線になる。

傾き
１次関数\(y=ax+b\) の傾きは\(a\)によって決まる。
\(a\)をグラフの傾きという。
切片
１次関数\(y=ax+b\) の定数部分\(b\) は
グラフの\(y\)軸と交わる点(0,\(b\) )の \(y\)座標となっている。
この\(b\)をグラフの切片という。

１次関数のグラフ
１次関数\(y=ax+b\) のグラフは
傾きが\(a\), 切片が\(b\) の直線である。

(5) １次関数のグラフのかき方

\(y=ax+b\) のグラフのかき方
① 切片が\(b\)なので\(y\)軸の点(0, \(b\)) をとる。
② 傾きが\(a\)なので点(0, \(b\)) から右へ1, 上へ\(a\)だけ進んだ点をとる。
③ 求めた2点を通る直線をひく。

① \(y=2x+1\) のグラフをかく。

傾き 2, 切片 1 のグラフをかく
① 点(0, 1) をとる
② 傾き 2 を分数で表す
2=\(\dfrac{2}{1}\)
分母の数だけ右へ
分子の数だけ上へ移動する。
マイナスの場合は下へ移動。
これより右に1, 上に 2 進む。
よって点(0, 1)より右へ 1,
上へ 2 進んだ点(1, 3)をとる。
③ 2点(0, 1) (1, 3)を通る直線をひく。

⒉ 直線の式の求め方

(１) １点の座標と傾きや切片

⒈ \(y=ax+b\) の\(b\)を求める。
① 点(1,－3)を通り、傾きが2の直線の式を求める。

求める直線の式を\(y=ax+b\) とする。
傾き\(a\)＝2より
求める直線は\(y=2x+b\) と表される。
この直線が点(1,－3)を通るので
\(x\)＝1, \(y\)＝－3 を代入すると
\(-3=2×1+b\)
求める\(b\)が右辺にあるので左辺にする。
※左辺と右辺を入れかえる。
\(2+b=-3\)
\(b=-3-2\)
\(b=-5\)
\(y=2x+b\) に\(b=-5\)を代入する。
求める直線の式は
\(y=2x-5\)

計算の落とし穴(注意点)
\(-3=2×1+b\)
求める\(b\)が右辺にあるときは右辺と左辺を入れかえて左辺に\(b\)がくるようにする。
このとき辺ごと移しかえることに注意する。
\(2+b=-3\)
これをしないと符号の間違いが多くなる。

\(y=ax+b\) の\(b\)を求める。
② \(x\)＝－1, \(y\)＝7 、変化の割合が－4の１次関数の式を求める。

求める１次関数の式を\(y=ax+b\) とする。
変化の割合\(a\)＝－4より
求める式は\(y=-4x+b\) と表される。
この式に
\(x\)＝－1, \(y\)＝7 を代入すると
\(7=-4×(-1)+b\)
求める\(b\)が右辺にあるので左辺にする。
※左辺と右辺を入れかえる。
\(4+b=7\)
\(b=7-4\)
\(b=3\)
\(y=-4x+b\) に\(b=3\)を代入する。
求める１次関数の式は
\(y=-4x+3\)

⒉ \(y=ax+b\) の\(b\)を求める。
③ 点(4, 1)を通り、切片が5の直線の式を求める。

求める直線の式を\(y=ax+b\) とする。
切片\(b\)＝5より
求める直線は\(y=ax+5\) と表される。
この直線が点(4, 1)を通るので
\(x\)＝4, \(y\)＝1 を代入すると
\(1=a×4+5\)
求める\(b\)が右辺にあるので左辺にする。
※左辺と右辺を入れかえる。
\(4a+5=1\)
\(4a=1-5\)
\(4a=-4\)
\(a=-1\)
\(y=ax+5\) に\(a=-1\)を代入する。
求める直線の式は
\(y=-x+5\)

⒊ 平行な直線の式を求める
平行な直線は傾きが同じになる。
平行な直線は 傾き\(a\)が等しい直線である。

④ 点(1, 6)を通り、\(y=2x+3\) に平行な直線の式を求める。

求める直線の式を\(y=ax+b\) とする。
平行な直線は傾き\(a\)が等しいので求める直線の傾き\(a\)は2となる。
傾き\(a\)＝2より
求める直線は\(y=2x+b\) と表される。
この直線が点(1, 6)を通るので
\(x\)＝1, \(y\)＝6 を代入すると
\(6=2×1+b\)
求める\(b\)が右辺にあるので左辺にする。
※左辺と右辺を入れかえる。
\(2+b=6\)
\(b=6-2\)
\(b=4\)
\(y=2x+b\) に\(b=4\)を代入する。
求める直線の式は
\(y=2x+4\)

(2) 2点の座標

⒋ 2点を通る直線の式を求める。
2点を通る直線の式を求める方法は２通りある。
(解法1)
傾きを求めて1点の座標を代入して求める。
(解法2)
2点の座標を \(y=ax+b\) に代入して連立程式に求める。

(解法2)より
① 2点(1, 3), (3, 7) を通る直線の式を求める。

求める直線の式を\(y=ax+b\) とする。
この式に
\(x\)＝1, \(y\)＝3 を代入すると
\(3=a×1+b\)
\(3=a+b\) …①
\(x\)＝3, \(y\)＝7 を代入すると
\(7=a×3+b\)
\(7=3a+b\) …②
①, ②を連立方程式で解く。
通常は①－②を行えばよい。

\(\begin{array}{rr}
& 3=a+b\\\
-)&7=3a+b\ \ \\
\hline
&-4 　=-2a\\
&-2a\ =-4\ \\\
&a\ =2\ \
\end{array}\)

\(a\)＝2を①に代入する。
\(\begin{eqnarray}
2+b &=& 3\\
b &=& 3-2\\
b &=&1\\
\end{eqnarray}\)
\(\cases{a = 2 \\ b =1}\)
これを\(y=ax+b\) に代入する。

求める直線の式は
\(y=2x+1\)